Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.
Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.
Теория
Теорема 1Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.
Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.
Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Замечание
Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры
Теорема 2Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.
Теорема Безу
После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x - s) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , где Q n - 1 (x) является многочленом со степенью n - 1 .
Следствие из теоремы Безу
Когда корень многочлена P n (x) считается s , тогда P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.
Разложение на множители квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , где x 1 и x 2 - это корни (комплексные или действительные).
Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.
Пример 1
Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.
Решение
Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что
x 1 = 5 - 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1
Отсюда получаем, что 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 .
Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.
Пример 2
Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 - 7 x - 11 .
Решение
Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 .
Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 · 3 = 7 - 181 6
Отсюда получаем, что 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Пример 3
Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.
Решение
Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 · i x 2 = - 1 2 = - 1 2 · i
Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i .
Пример 4
Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .
Решение
Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 · 1 = - 1 3 + 35 3 · i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Получив корни, запишем
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i = = x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i
Замечание
Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x - x 1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.
Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.
Вынесение общего множителя за скобки
Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.
Пример 5
Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 - x на множители.
Решение
Видим, что x 1 = 0 - это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x - 1 . Найдем дискриминант и корни:
D = 8 2 - 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 · 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 · 4 = - 1 - 5 2
Тогда следует, что
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .
Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.
Пример 6
Произвести разложение выражения f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 .
Решение
Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа - 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:
Отсюда следует, что х = 2 и х = - 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .
Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
Ответ: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Замечание
Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.
Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.
Пример 7
Произвести разложение на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Решение
Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что
4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Когда получившаяся функция вида g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Перейдем к вычислению функции g (y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что
g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = - 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60
Получаем, что у = - 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = - 5 2 - это корень исходной функции.
Пример 8
Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .
Решение
Запишем и получим:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Отсюда следует, что
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители
Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.
Способ группировки
Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.
Пример 9
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 на множители.
Решение
Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , - 1 , 2 и - 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что
1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
Необходимо провести группировку:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Замечание
Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.
Пример 10
Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Решение
Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
После разложения на множители получим, что
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.
Пример 11
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 на множители.
Решение
Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .
Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
После применения разности квадратов, получим
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Пример 12
Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Решение
Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители
При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.
Пример 13
Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .
Решение
По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Корни полученного квадратного уравнения равны y = - 2 и y = - 3 , тогда
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
То есть получили искомое разложение.
Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Ключевые слова: уравнения , Многочлен , Корни уравнения
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока : Урок усвоения и закрепления первичных знаний.
Цель урока:
- Ознакомить учеников с понятием корней многочлена, научить находить их. Усовершенствовать навыки применения схемы Горнера по разложению многочлена по степеням и деления многочлена на двучлен.
- Научиться находить корни уравнения с помощью схемы Горнера.
- Развивать абстрактное мышление.
- Воспитывать вычислительную культуру.
- Развитие межпредметных связей.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
Пусть F n (x)= a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - многочлен относительно x степени n, где a 0 , a 1 ,...,a n –данные числа, причем a 0 не равно 0. Если многочлен F n (x) разделить с остатком на двучлен x-a, то частное (неполное частное) есть многочлен Q n-1 (x) степени n-1, остаток R есть число, при этом справедливо равенство F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Многочлен F n (x) делится нацело на двучлен (x-a) только в случае R=0.
Теорема Безу: Остаток R от деления многочлена F n (x) на двучлен (x-a) равен значению многочлена F n (x) при x=a, т.е. R= P n (a).
Немного истории. Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Вычисление коэффициентов многочлена и остатка записывается в виде таблицы, которая называется схемой Горнера.
Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда частное равно двучлену x–a .
Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837), английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен х - а (схема Горнера).
Вывод общей формулы для схемы Горнера.
Разделить с остатком многочлен f(x) на двучлен (x-c) значит найти такой многочлен q(x) и такое число r, что f(x)=(x-c)q(x)+r
Запишем это равенство подробно:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
x n: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 x n-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 x n-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x 0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Демонстрация схемы Горнера на примере.
Задание 1. С помощью схемы Горнера разделим с остатком многочлен f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 на двучлен x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, где g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 остаток.
Разложение многочлена по степеням двучлена.
Используя схему Горнера, разложим многочлен f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 по степеням двучлена (x+2).
В результате должны получить разложение f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3(x+2) 2 -2(x+2)+12
Схему Горнера часто используют при решении уравнений третьей, четвертой и выших степеней, когда удобно разложить многочлен на двучлен x-a. Число a называют корнем многочлена F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n , если при x=a значение многочлена F n (x) равно нулю: F n (a)=0, т.е. если многочлен делится нацело на двучлен x-a.
Например, число 2 является корнем многочлена F 3 (x)=3x 3 -2x-20, так как F 3 (2)=0. это означает. Что разложение этого многочлена на множители содержит множитель x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Любой многочлен F n (x) степени n 1 может иметь не более n действительных корней.
Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
Если старший коэффициент уравнения равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, целые.
Закрепление изученного материала.
Для закрепления нового материала учащимся предлагается выполнить номера из учебника 2.41 и 2.42 (стр. 65).
(2 ученика решают у доски, а остальные, решив, в тетради задания сверяются с ответами на доске).
Подведение итогов.
Поняв структуру и принцип действия схемы Горнера, ее можно использовать и на уроках информатики, когда рассматривается вопрос о переводе целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. В основе перевода из одной системы счисления в другую лежит следующая общая теорема
Теорема. Для перевода целого числа Ap из p -ичной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо Ap последовательно делить с остатком на число d , записанное в той же p -ичной системе, до тех пор, пока полученное частное не станет равным нулю. Остатки от деления при этом будут являться d -ичными цифрами числа Ad , начиная от младшего разряда к старшему. Все действия необходимо проводить в p -ичной системе счисления. Для человека данное правило удобно лишь при p = 10, т.е. при переводе из десятичной системы. Что касается компьютера, то ему, напротив, “удобнее” производить вычисления в двоичной системе. Поэтому для перевода “2 в 10” используется последовательное деление на десять в двоичной системе, а “10 в 2” - сложение степеней десятки. Для оптимизации вычислений процедуры “10 в 2” компьютер использует экономную вычислительную схему Горнера.
Домашнее задание. Предлагается выполнить два задание.
1-е. Используя схему Горнера разделить многочлен f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 на двучлен (x-3).
2-е. Найти целые корни многочлена f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6.(учитывая, что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена)
Литература.
- Курош А.Г. “Курс высшей алгебры”.
- Никольский С.М, Потапов М.К. и др. 10 класс “Алгебра и начала математического анализа”.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Разложение многочлена пятой степени на квадратичные множители с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 1. Определение интерполяционного многочлена Лагранжа пятой степени. Чтобы разложить приведенный многочлен пятой степени на множители необходимо выполнение равенства: f(x)=φ(x)·g(x). При этом степень многочленов φ(x) и g(x) должна быть не выше пятой. Для определения целого многочлена не выше пятой степени с заданной таблицей значений существует формула интерполяционного многочлена Лагранжа (ИМЛ): 6 Ak k=1 F"(xk)(x−xk) , где F(x)=(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)·(x-x4)·(x- φ(x) = F(x)· ∑ x5)(x-x6), Fʹ(xk) значения производной функции F(x) в точках xk. Где необходимо задать на плоскости координаты шести точек. Для определения множителей φ(x) и g(x) выберем произвольно шесть целых значений x= x1; x2; x3; x4; x5; x6 и станем подставлять их в равенство f(x)= φ(x)·g(x). Получим: f(x1)= φ(x1)·g(x1) ; f(x2)= φ(x2)·g(x2); f(x3)= φ(x3)·g(x3); f(x4)= φ(x4)·g(x4) ; f(x5)=φ(x5)·g(x5); f(x6)= φ(x6)· g(x6). Эти равенства показывают, что каждое значение φ(xk) искомого множителя φ(x) является делителем числа f(xk). Для построения множителя φ(x) воспользуемся ИМЛ и в качестве f(xk) будем подставлять произвольные целые числа Аk, а значения xk выберем в виде последовательных целых чисел близких к нулю, т.е. x1= -3; x2= -2; x3= -1; x4=0; x5=1; x6=2. В развернутом виде ИМЛ φ(x) выглядит так:
F(x) φ(x) A4 + A2 A3 + A1 A5 F"(1)(x−1) + +A6 F"(−3)(x+3) F"(−2)(x+2) + + F"(0)x F"(−1)(x+1) F"(2)(x−2)) , ·(где F(x)=(x+3)·(x+2)·(x+1)·x·(x-1)·(x-2). (2). Для построения множителя φ(x) с помощью ИМЛ необходимо задать числа А1; А2; А3; А4; А5; А6. Определение: числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 взятые из формулы ИМЛ записанные в ряд называются Лагранжевым рядом. 2. Разложение многочлена на линейные множители с помощью ИМЛ. Теорема 1 (Обобщение схемы Горнера) Многочлен φ(x) является линейным, если числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 образуют возрастающую последовательность целых чисел. Доказательство: приведем многочлен (2) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x), получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А1; А2; А3; А4; А5; А6. Для того что бы многочлен (2) был линейным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой, третьей и второй степени, а коэффициент при «х» первой степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из пяти уравнений с шестью переменными: -А1+5·А2-10·А3+10·А4-5·А5+А6=0 5·А2-20·А3+30·А4-20·А5+5·А6=0 5·А1-35·А2+70·А3-50·А4+5·А5+5·А6=0 -5·А2+80·А3-150·А4+80·А4-5·А6=0 -4·А1+30·А2-120·А3+40·А4+60·А5-6·А6=120. Если зафиксировать число А6 то все остальные выразятся следующими формулами: А1=А6-5; А2=А6-4; А3=А6- 3; А4=А6-2; А5=А6-1.
Мы получили возрастающую последовательность целых чисел. Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид: φ(x)=x+А4 (3). Определение: последовательность чисел заданных данными соотношениями А1=А6-5; А2=А6-4; А3=А6-3; А4=А6-2; А5=А6-1; А6 называют линейным Лагранжевым рядом. Определение: линейный Лагранжевый ряд называется «кандидатом» если все его числа Аk являются делителями соответствующих значений функции f(xk), где k=1;2;3;4;5;6. Для всех кандидатов строим линейный множитель φ(x) по формуле (3) и проверяем его на делимость с f(x). Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид φ(x)=x+А4 , где А4 является делителем свободного члена т.е. Аналогично приведенного многочлена по схеме Горнера. Пример: f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. По схеме Горнера найдем значение многочлена при х= -3; -2; -1; 0;1;2. Для этого составим таблицу 1: -8 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 Последний столбец таблицы 1 перепишем первой строкой таблицы 2. Выберем в этой строке число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число -8. Запишем в столбик все его делители. Каждому делителю числа -8 запишем в строчку линейный Лагранжевый ряд. Из получившихся Лагранжевых рядов выберем «кандидатов». Построим с помощью «кандидатов» многочлен φ(x) по f(0). линейный множитель -8 -1100 -250 -36 -8 -28 -150 определяется 1 1 1 1 1 1 1 2 35 22 11 2 -5 -10 -16 -121 -60 -27 -16 -21 -36 1 364 121 28 1 -20 -71
36 А3 0 -2 1 -3 3 -5 7 -9 -8 А4 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 -28 А5 2 0 3 -1 5 -3 9 -7 -150 А6 3 1 4 0 6 -2 10 -6 формуле (3) и проверим их на делимость с данным многочленом f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. Таблица 2: -250 -1100 А2 А1 -2 -1 -3 -4 0 -1 -5 -4 2 1 -6 -7 5 6 -11 «кандид -10 ат» В приведенной выше таблице 2 закрашены серым цветом прямоугольники, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). В данной таблице находится строка или Лагранжевый ряд все числа, которого являются делителями соответствующих значений функции f(x). Этот ряд является единственным кандидатом. В этом ряде А4= -8, подставляя в формулу φ(x)=x- А4, находим φ(x)=x- 8. Действительный кандидат выделим черным цветом. 3. Разложение многочлена множители с помощью ИМЛ. Проверка:x5-8x4+2x3-16x2+x-8=(x-8)·(x4+2x2+1). на квадратичные Теорема 2. Множитель φ(x) является квадратичным если числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 связаны между собой следующими соотношениями: А1=5·(А5+4)-4·А6 А2=4·(А5+3)-3·А6 А3=3·(А5+2)-2·А6 А4=2·(А5+1)-1·А6
Доказательство: Доказательство: приведем многочлен (1) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x),получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 . Для того что бы многочлен (1) был квадратичным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой и третьей степени, а коэффициент при «х» второй степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из четырех уравнений с шестью переменными: -А1+5·А2-10·А3+10·А4-5·А5+А6=0 5·А2-20·А3+30·А4-20·А5+5·А6=0 5·А1-35·А2+70·А3-50·А4+5·А5+5·А6=0 -5·А2+80·А3-150·А4+80·А5-5·А6=120. Если зафиксировать два числа А5 и А6 то все остальные выразятся следующими формулами: А1=5·(А5+4)-4·А6; А2=4·(А5+3)-3·А6; А3=3·(А5+2)-2·А6; А4=2·(А5+1)-1·А6. Из теоремы вытекает, что квадратичный множитель выразится формулой φ(x)=x2+(А6- А5-3) ·x+ А4. (4) Определение: Последовательность целых чисел заданных следующими соотношениями; А3=3·(А5+2)-2·А6 ; А4=2·(А5+1)-1·А6 называется квадратичным Лагранжевым рядом Определение: квадратичный Лагранжевый ряд называется «кандидатом» если все его числа Аk являются делителями соответствующих значений функции f(xk), k=1;2;3;4;5;6. Для всех кандидатов строим квадратичный множитель φ(x) по формуле (4) и проверяем его на делимость с f(x). А1=5·(А5+4)-4·А6 ; А2=4·(А5+3)-3·А6
А3 А4+ d+4 А4 А5+ d+2 А5 А5 4. Упрощенный вид квадратичных Лагранжевых рядов. Формулы квадратичного Лагранжевого ряда можно упростить. Для этого буквой «d» обозначим разность А5- А6, тогда числа квадратичного Лагранжевого ряда будут выглядеть более простыми формулами и удобными для их построения: А1 А2 А2+ d+8 А3+ d+6 Пример: А5=7; А6=10 составить квадратичный Лагранжевый ряд. Найдем d=7-10=-3, тогда по формулам таблицы найдем числа данного ряда: А1 А2+ d+8 10+(- 3)+8 15 Ответ: 15; 10; 7; 6; 7; 10. Рассмотрим пример разложения приведенного многочлена пятой степени на множители: f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x- 20. А5 А2 А3+ d+6 А5 7+(-3)+6 6+(-3)+4 7+(-3)+2 7 7 10 А4 А5+ d+2 А3 А4+ d+4 7 6 А6 А6 А6 А6 10 10 1) По схеме Горнера найдем значения функции при х=-3; -2;-1; 0;1;2. Для этого составим таблицу: 1 1 1 1 1 1 1 -5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 13 37 27 19 13 9 7 -22 -133 -76 -41 -22 -13 -8 -3 -2 -1 0 1 2 2) Определим, имеет ли данный многочлен, линейные множители. Для этого в строчку таблицы №3 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число «2». Запишем в столбик все его целые делители. Для каждого делителя числа «2» в -20 -1298 -378 -88 -20 -6 2 27 426 179 68 27 14 11
строчку запишем линейные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим на делимость с данным многочленом f(x). Таблица №3: -1298 А1 -378 А2 -88 А3 -20 А4 -3 0 -4 -5 -6 А5 0 -2 1 -3 2 А6 1 -1 2 -2 В данной таблице №3 серым цветом отмечены клетки, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). Пустые клетки заполнять нет необходимости, так как построенный квадратичный Лагранжевый ряд с числом в серой клетке заведомо не является «кандидатом». Из данной №3 таблицы видно, что «кандидатов» нет. Это значит что данный многочлен f(x)=x5-5x4+13x3- 22x2+27x-20 на линейные множители не раскладывается. 3) Определим, имеет ли данный многочлен, квадратичные множители. Для этого в строчку таблицы №4 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем два числа, имеющие наименьшее число делителей. В нашем примере это числа «2» и «-6» запишем их делители в столбики. Для каждой пары делителей чисел «2» и «-6» в строчку запишем квадратичные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим их на делимость с данным многочленом f(x). Таблица №4: -1298 А1 А2+ d+8 -378 А2 А3+ d+6 5 -88 А3 А4+ d+4 1 10 -5 -20 А4 А5+ d+2 3 -1 5 -3 7 -5 -6 А5 А5 1 -1 2 -2 3 -3 2 А6 А6 1 1 1 1 1 1 d d= А5- А6 d=0 d=-2 d=1 d=-3 d=2 d=-4
19 7 2 14 -2 14 7 22 2 13 6 11 5 2 5 -1 8 -4 7 19 1 13 -11 5 1 7 -1 9 -3 15 -9 2 -2 4 -4 6 -6 12 -12 6 2 8 0 10 -2 16 -8 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 d=5 d=-7 d=2 d=0 d=3 d=-1 d=4 d=-2 d=7 d=-5 d=-1 d=-3 d=0 d=-4 d=1 d=-5 d=4 d=-8 d=3 d=1 d=4 d=0 d=5 d=-1 d= 8 d=-4 «канд.» «канд.» В данной таблице №4 мы видим двух «кандидатов». С их помощью по формуле φ(x)=x2+(А6- А5-3) ·x+ А4 найдем квадратные множители: φ1(x)=x2-3х+ 4; φ2(x)=x2+x-4. Проверка показывает, что один из двух множителей является истинным это φ1(x)=x2-3х+ 4, а другой множитель оказался посторонним. Ответ: x5-5x4+13x3-22x2+27x-20=(x2-3х+ 4)·(x3-2x2+3x-5). В данной таблице №4 получили 32 квадратичных Лагранжевых ряда. Это число определяется количеством различных пар делителей, как положительных, так и отрицательных, которые расположены двумя столбиками по соседству. двух значений функции,
5. Уменьшение числа квадратичных Лагранжевых рядов. По определению Если значения функции число делителей, которых минимально, расположены не по соседству, то можно воспользоваться следующей теоремой: Теорема 3 Пусть известны А4 и А6 тогда А5=(А4+ А6 ·1):2-1 Пусть известны А3 и А6 тогда А5=(А3+ А6 ·2):3-2 Пусть известны А2 и А6 тогда А5=(А2+ А6 ·3):4-3 Пусть известны А1 и А6 тогда А5=(А1+ А6 ·4):5-4. Доказательство: докажем последнее равенство А5=(А1+А6·4):5-4. квадратичных Лагранжевых чисел, А1=5·(А5+4)-4·А6 подставим это число в исходное равенство получим А5=(5·(А5+4)-4·А6+А6·4):5-4=(5 ·А5+20):5-4=А5+4-4=А5 что и требовалось доказать. Другие равенства доказываются аналогично. Данная теорема позволяет уменьшить число квадратичных Лагранжевых рядов. Рассмотрим уже решенный нами пример f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x-20 и решим его на случай когда мы рассматриваем квадратичные Лагранжевые ряды построенных с помощью делителей А4 и А6. Таблица №5: -1298 -378 А2 А1 А2+ А3+ d+6 d+8 d d = А5- А6 -88 А3 А4+ d+4 -20 А4 А5+ d+2 1 -1 5 -5 1 -1 -6 А5 (А4+ А6 ·1):2-1 0 -1 2 -3 -1 -2 2 А 6 А 6 1 1 d =-2 1 d =1 1 d =-4 - d =0 1 d =-1 - 1 5 7 1 10 -5 5 2 14
19 11 7 22 2 2 14 -2 13 6 5 -1 8 -4 7 1 19 5 -5 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 1 -4 1 -1 2 -2 5 -5 10 -10 -1 -3 0 -4 3 -7 8 -12 «канд.» «канд.» d =2 - 1 - 1 2 d =-1 2 d =-3 2 d =0 2 d =-4 2 2 2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 d =1 d =-1 d =5 В данной таблице №5 мы получили 24 квадратичных Лагранжевых ряда. Так как в формуле сумму А4 и А6 необходимо делить на 2, поэтому делители А4 и А6 должны быть либо оба четными, либо оба нечетными. За счет этого уменьшилось число квадратичных Лагранжевых рядов. Если использовать данную теорему 3 для записи квадратичных Лагранжевых рядов, построенных с помощью А1 и А6, то число рядов уменьшится до 12. Таблица №6: -378 -1298 А1 А2 2 А6 d -88 А3 -20 А4 -6 А5
«канд.» A3+d+ 6 5 d=-4 d=0 «канд.» «канд.» A5+d+ 2 -5 -1 A4+d+ 4 -5 1 (4A1+A6): 5-4 -3 -1 -15 -5 -7 7 -2 2 -26 -6 -10 12 A6 d=A5- A6 d=-4 1 1 d=-2 1 -1 -1 -1 2 2 2 -2 d=-4 -2 -2 A2+d+ 8 1 11 -59 -1 -11 -59 2 22 -118 -2 -22 118 В таблице №6 число квадратичных Лагранжевых рядов уменьшилось до 12, так как А5 находится по формуле (4A1+A6):5-4 и А5 как целое число должно быть меньше или равно -6. Во всех таблицах черная выделенная строка является «действительным кандидатом». Остальные кандидаты являются «мнимыми». Для многочлена шестой степени можно доказать, что квадратичный множитель можно найти по формуле: φ(x)=x2+ (А7 - А6 - 5) ·x+ А4, где числа А1; А2; А3; А4; А5; А6; А7 образуют квадратичный Лагранжевый ряд. 6. Выводы: 1. Данный метод разложения, использующий ИМЛ -2 14 -4 8 -4 4 -8 является обобщением «схемы Горнера». 2. Данным методом можно определить квадратичные множители для многочленов выше пятой степени. 3. Данным методом можно исследовать свойства Лагранжевых чисел для определения кубических многочленов в разложении многочленов пятой и выше степени. 7. Литература: 1. А. Н. Чеботарев «Основы теории Галуа», ОМТИ ГТТИ, 1934г., 1ч.
2. «Числа и многочлены», составитель А.А. Егоров – М.: бюро Квантум, 2000/ приложение к журналу «Квант» №6, 2000г.
